Im erzgebirgischen Annaberg-Buchholz lebte und lehrte im 16. Jahrhundert der Rechenmeister Adam Ries. Seine Rechenbücher brachten Generationen von Kaufleuten und Handwerkern das Rechnen mit der Feder bei, und noch heute sagt man „nach Adam Riese“, wenn eine Rechnung stimmt. Ein Satz verdient dabei Ehrlichkeit: Die Faustformel, um die es hier geht, wird nicht Adam Ries zugeschrieben, sondern in der Literatur häufig dem italienischen Mathematiker Luca Pacioli und seinem Werk von 1494. Sie passt aber gut zu dem Geist, in dem Ries rechnete: erst eine schnelle Schätzung, dann die Probe.
Die Regel in einem Satz
Teilt man 72 durch den Zinssatz in Prozent, erhält man näherungsweise die Zahl der Jahre, in denen sich ein Betrag bei jährlicher Verzinsung mit Zinseszins verdoppelt. Bei 4 Prozent sind das 72 : 4 = 18 Jahre. Die Rechnung gelingt im Kopf, und genau darin liegt ihr Reiz.
Die Gegenprobe mit der Zinseszinsformel
Die genaue Rechnung beginnt mit der Zinseszinsformel: Endkapital = Anfangskapital mal (1 + Zinssatz) hoch Jahre. Für eine Verdopplung muss (1 + Zinssatz) hoch n gleich 2 sein. Löst man nach n auf, ergibt sich n = ln 2 geteilt durch ln (1 + Zinssatz), wobei ln der natürliche Logarithmus ist. Ein einfacher Taschenrechner mit Logarithmustaste genügt.
Rechenbeispiel bei 4 Prozent: ln 2 beträgt etwa 0,6931, ln 1,04 etwa 0,0392. Der Quotient ergibt rund 17,67 Jahre. Die Faustformel sagt 18 Jahre, die Abweichung beträgt also gut drei Monate. Alle Werte in der folgenden Tabelle sind reine Rechenbeispiele und keine Zinsangebote.
| Zinssatz | Faustformel in Jahren | Exakte Rechnung in Jahren | Abweichung in Jahren |
|---|---|---|---|
| 2 % | 36,0 | 35,00 | +1,00 |
| 3 % | 24,0 | 23,45 | +0,55 |
| 4 % | 18,0 | 17,67 | +0,33 |
| 6 % | 12,0 | 11,90 | +0,10 |
| 8 % | 9,0 | 9,01 | -0,01 |
| 10 % | 7,2 | 7,27 | -0,07 |
Warum 72 und nicht 70 oder 69?
Mathematisch ist ln 2 gleich 0,693. Für kleine Zinssätze wäre deshalb 69,3 geteilt durch den Zinssatz am genauesten, weil bei stetiger Verzinsung genau dieser Wert herauskommt. Die Zahl 72 hat einen praktischen Vorteil: Sie ist durch viele kleine Zahlen teilbar (2, 3, 4, 6, 8, 9, 12), sodass sich die Kopfrechnung bei gängigen Zinssätzen glatt aufgeht. Bei mittleren Zinssätzen von etwa 6 bis 10 Prozent liegt sie außerdem sehr nah an der exakten Lösung, wie die Tabelle zeigt.
Grenzen der Faustregel
- Niedrige Zinssätze: Je kleiner der Zins, desto größer die Abweichung. Bei 2 Prozent ist sie schon ein volles Jahr.
- Gleichbleibender Zins: Die Regel unterstellt einen festen Satz über die gesamte Zeit. Reale Zinsen ändern sich.
- Zinseszins nur bei Wiederanlage: Ausgeschüttete oder entnommene Zinsen verdoppeln nichts. Bei einfacher Verzinsung ohne Zinseszins dauert eine Verdopplung bei 4 Prozent 25 Jahre, nicht 18.
- Steuern, Gebühren, Inflation: Alle drei bleiben außen vor. Was ein Betrag nach der Verdopplung kaufen kann, hängt von der Preisentwicklung ab; mehr dazu in der Rubrik Inflation & Wirtschaft.
Die Regel umgekehrt benutzen
Man kann die Faustformel auch rückwärts anwenden. Soll sich ein Betrag in 12 Jahren verdoppeln, braucht es rechnerisch etwa 72 : 12 = 6 Prozent. Verdoppelt sich ein Preis innerhalb von 24 Jahren, entspricht das einer jährlichen Steigerung von rund 3 Prozent. Die Regel lässt sich also auch auf Preisentwicklungen, Schulden oder das Wachstum einer Wirtschaftsleistung anwenden. Sie sagt dabei nichts darüber, ob ein bestimmter Zins erreichbar oder zu erwarten ist; sie rechnet nur, was bei einer angenommenen Zahl geschieht.
Was bleibt von Adam Ries
Ries hat Rechenverfahren so aufgeschrieben, dass sie nachvollziehbar und überprüfbar waren. Daran lässt sich auch hier anknüpfen: Eine Näherung ist nützlich, solange man weiß, wie weit sie danebenliegen kann. Geschichte und Werk des Rechenmeisters sind unter anderem bei de.wikipedia.org nachzulesen. Aktuelle Zinsstatistiken der Notenbank finden Sie bei der Deutschen Bundesbank (Stand prüfen).
